Треугольник

Головоломка из книги про мальчика:

Доказать, что треугольник со сторонами 2n, n^2+1 и n^2-1 является прямоугольным.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Очевидно, что гипотенуза - это n^2+1

Записывем теорему Пифагора:

(2n)^2+(n^2-1)^2=(n^2+1)^2 =>
=> 4n^2+n^4-2n^2+1=n^4+2n^2+1 => далее очевидно.

Получаем, что правая часть выражения равна левой при любом n.

> В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Это конечно так. Но разве теорема Пифагора говорит о том, что в НЕ-прямогульном треугольнике квадрат гипотенузы НЕ равен сумме квадратов катетов?

Посмотри в учебнике геометрии (или в inet'e) 'признаки подобия треугольников':)

Посмотри в учебнике геометрии (или в inet'e) 'признаки подобия треугольников':)

Посмотри в учебнике геометрии (или в inet'e) 'признаки подобия треугольников':)

Посмотри в учебнике геометрии (или в inet'e) 'признаки подобия треугольников':)

Блин, сорри. Что-то сглючило.
Уточнение, признаки РАВЕНСТВА треугольников.

Alexp, я знаю как решается эта задача. Ты лучше свой ответ давай.

Это глюк известный. После того как комментарий запостил, если сделать Refresh, то комментарий постится ещё раз. Исправлю как будет время.

Мы имели ввиду, что:
1. Если имеется прямоугольный треугольник с катетами a = 2n и b = n^2-1, то:
2. По т.Пифагора-Smally его гипотенуза
c = sqrt(a^2 + b^2)
= sqrt(4n^2 + n^4 - 2n^2 + 1)
= n^2+1
3. По признаку равентсва треугольников любой треугольник со сторонами a,b,c будет равен рассматриваемому, т.е. б. прямоугольным.

...или есть более простое решение?

Вы всгда такие серьезные?

Прктически всгда.

> Если имеется прямоугольный треугольник с катетами a = 2n и b = n^2-1

Может я конечно и не прав, но мне всё же кажется, что в этом доказательстве есть слабое место. А именно - надо доказать, что нет непрямоугольного треугольника с такими же сторонами. Это как бы очевидно, однако очевидность - это не доказательство.

> ...или есть более простое решение?

Я решил явно более сложно, но на мой взгляд решение не вызывает сомнений. Зная длины всех трёх сторон и расположив одну из сторон на оси абсцисс, нашёл точку пересечения двух оставшихся. Координата x этой точки оказалась равна координате x стороны, лежащей на оси асбцисс, что означает, что эта сторона образует прямой угол с одной из оставшихся сторон. Что означает, что треугольник прямоугольный. Путанно описал, если есть вопросы - спрашивайте.